2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 5회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 5회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

삼각형 \(ABC\)의 평면 \(\beta\)로의 정사영을 \(A'B'C'\)이라 하고, \(h\)와 \(h'\)을 각각 삼각형 \(ABC\)와 \(A'B'C'\)의 높이라 하자.

\(\triangle ABC\)는 \(\overline{AB} = \overline{AC} = 1\)인 직각이등변삼각형이므로 높이 \(h = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)이다.

선분 \(BC\)가 교선 \(\ell\)과 평행하므로 높이 선분은 교선 \(\ell\)에 수직이다. 따라서 정사영의 높이는 \(h' = h \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\)이다.

밑변의 절반 길이는 교선 \(\ell\)과 평행하므로 정사영 후에도 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)로 불변이다. 피타고라스 정리에 의해

\[\overline{A'B'} = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (h')^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2\theta} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}}\]

답: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

선분 \(PQ\)를 빗변으로 하고 다음 조건을 만족하는 평면 \(\alpha\) 위의 직각삼각형 \(PRQ\)를 생각하자:

∙ 직선 \(PR\)과 직선 \(\ell\)은 수직이다. ∙ 직선 \(RQ\)와 직선 \(\ell\)은 평행이다.

이때 \(\angle Q = t\)라 하면 \(\overline{PQ} = 1\)이므로 \(\overline{PR} = \sin t, \overline{RQ} = \cos t\)이다.

삼각형 \(PQR\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(P'Q'R'\)이라 하면 삼수선의 정리에 의해 \(\angle R' = 90^\circ\)인 직각삼각형이다. 따라서

\[\overline{P'R'} = \overline{PR}\cos\theta = \sin t \cos\theta, \quad \overline{R'Q'} = \overline{RQ} = \cos t\]

\[\overline{P'Q'} = \sqrt{\overline{P'R'}^2 + \overline{R'Q'}^2} = \mathbf{\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}}\]

답: \(\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 5회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

직선 \(RS\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각을 \(t\)라 하면, 정삼각형의 성질에 의해 직선 \(TS\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각은 \(\frac{\pi}{3} - t\)이고, 직선 \(RT\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각은 \(\frac{\pi}{3} + t\)이다.

[문항 1-2]의 공식을 적용하면 삼각형 \(R'S'T'\)의 각 변의 길이의 제곱은 다음과 같다:

\[\overline{R'S'}^2 = \sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t\]

\[\overline{T'S'}^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\cos^2\theta + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\]

\[\overline{R'T'}^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\cos^2\theta + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\]

삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(\sin^2 t + \sin^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3}{2}\), \(\cos^2 t + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3}{2}\)이므로 세 식의 합은 다음과 같다:

\[\overline{R'S'}^2 + \overline{S'T'}^2 + \overline{T'R'}^2 = \frac{3}{2}\cos^2\theta + \frac{3}{2}\]

\(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)를 대입하면 구하는 값은 다음과 같다:

\[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{\pi}\right)^2 + \frac{3}{2} = \frac{27}{2\pi^2} + \frac{3}{2} = \mathbf{\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}}\]

답: \(\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}\)

[문제 1] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
1-1	선분 \(AB\)의 정사영의 높이와 밑변 성분을 삼수선의 정리를 통해 도출하였는가?	20점
1-1	정사영의 길이 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}\)를 정확히 구하였는가?	10점
1-2	수직·평행 직각삼각형 성분을 분해하여 정사영의 기하학적 의미를 파악하였는가?	20점
1-2	선분 \(P'Q'\)의 길이 \(\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}\)를 정확하게 유도하였는가?	10점
1-3	세 변의 각도를 \(\frac{\pi}{3}\pm t\)로 설정하고 삼각함수 덧셈정리를 통해 합 식을 단순화하였는가?	30점
1-3	\(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)를 대입하여 최종값 \(\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}\)를 정확히 도출하였는가?	10점

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 5회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

꺼낸 카드에 적힌 수를 \(X\)라 하면, \(E(X) = \frac{1+2+3}{3} = 2\)이고, 모분산은 다음과 같다:

\[V(X) = \frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{2}{3}\]

표본의 크기 \(n=54\)이므로 표본평균 \(\bar{X}\)의 평균과 분산은 \(E(\bar{X}) = 2\), \(V(\bar{X}) = \frac{V(X)}{54} = \frac{2/3}{54} = \frac{1}{81}\)이다.

확률변수 \(Y = -2\bar{X}\)의 평균과 분산은 다음과 같다:

\[E(-2\bar{X}) = -2E(\bar{X}) = \mathbf{-4}, \quad V(-2\bar{X}) = (-2)^2 V(\bar{X}) = 4 \times \frac{1}{81} = \mathbf{\frac{4}{81}}\]

\(n=54\)가 충분히 크므로 중심극한정리에 의해 \(\bar{X}\) 및 \(-2\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다.

\(Z = \frac{-2\bar{X} - (-4)}{\sqrt{4/81}} = \frac{-2\bar{X} + 4}{2/9}\)는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따르므로 구하는 확률은

\[P\left(-2\bar{X} \ge -\frac{11}{3}\right) = P\left(Z \ge \frac{-11/3 + 4}{2/9}\right) = P\left(Z \ge \frac{1/3}{2/9}\right) = P(Z \ge 1.5) = 0.5 - 0.4332 = \mathbf{0.0668}\]

답: 평균: \(-4\), 분산: \(\frac{4}{81}\), 확률: \(0.0668\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)를 미분하면 \(f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}\)이다. \(f'(e) = 0\)이고, \(0 < x < e\)에서 \(f'(x) > 0\), \(x > e\)에서 \(f'(x) < 0\)이다.

따라서 \(f(x)\)는 \((0, e)\)에서 엄격히 증가하고, \((e, \infty)\)에서 엄격히 감소하며, \(x=e\)에서 극댓값이자 최댓값 \(f(e) = \frac{1}{e}\)을 갖는다.

\(a^b = b^a\)의 양변에 자연로그를 취하고 정리하면 \(\frac{\ln a}{a} = \frac{\ln b}{b}\), 즉 \(f(a) = f(b)\)이다.

\(a \ne b\)이므로 증가·감소 구간에 의해 두 수 중 하나는 \(e\)보다 작고 다른 하나는 \(e\)보다 커야 한다. 일반성을 잃지 않고 \(a < e < b\)라 하자.

\(e \approx 2.718\)이므로 가능한 양의 정수 \(a\)는 \(1\) 또는 \(2\)이다.

∙ \(a = 1\)이면 \(f(1) = 0\)인데, 모든 \(b > e\)에 대해 \(f(b) > 0\)이므로 불가능하다.
∙ \(a = 2\)이면 \(f(2) = \frac{\ln 2}{2} = \frac{\ln 4}{4} = f(4)\)이므로 \(b = 4\)가 유일하게 성립한다.

대칭성에 의해 \(b < a\)인 경우도 가능하므로, 구하는 모든 양의 정수 순서쌍은 다음과 같다:

답: \((2, 4), (4, 2)\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오전) 모의고사 5회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

둘레의 길이가 \(1\)인 정 \(n\)각형의 한 변의 길이는 \(\frac{1}{n}\)이다. 외접원의 중심을 \(O\), 이웃한 두 꼭짓점을 \(A, B\), 외접원의 반지름을 \(r\)이라 하자.

\(\triangle OAB\)에서 중심각 \(\angle AOB = \frac{2\pi}{n}\)이므로 코사인법칙에 의해

\[\left(\frac{1}{n}\right)^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos\frac{2\pi}{n} \implies r^2 = \frac{1}{2n^2(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\]

\(\triangle OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^2 \sin\frac{2\pi}{n} = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n^2(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\)이므로 정 \(n\)각형의 넓이 \(f(n)\)은 다음과 같다:

\[f(n) = n \times \triangle OAB = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\]

\(n = 12\)를 대입하면 \(\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\)이므로:

\[f(12) = \frac{\sin\frac{\pi}{6}}{48(1-\cos\frac{\pi}{6})} = \frac{1/2}{48(1-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{48(2-\sqrt{3})} = \mathbf{\frac{2+\sqrt{3}}{48}}\]

극한값 \(\lim_{n \to \infty} f(n)\)은 삼각함수의 반각/배각 공식 및 극한을 이용하여 계산한다:

\[f(n) = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}(1+\cos\frac{2\pi}{n})}{4n(1-\cos^2\frac{2\pi}{n})} = \frac{1+\cos\frac{2\pi}{n}}{4n\sin\frac{2\pi}{n}} = \frac{1+\cos\frac{2\pi}{n}}{8\pi \times \frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}}\]

\[\lim_{n \to \infty} f(n) = \frac{1+1}{8\pi \times 1} = \mathbf{\frac{1}{4\pi}}\]

답: \(f(12) = \frac{2+\sqrt{3}}{48}, \quad \lim_{n \to \infty} f(n) = \frac{1}{4\pi}\)

[문제 2] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
2-1	표본평균의 성질을 이용하여 \(-2\bar{X}\)의 평균 \(-4\)와 분산 \(\frac{4}{81}\)을 구했는가?	15점
2-1	표준정규분포의 표준화를 적용하여 확률 \(0.0668\)을 정확하게 계산했는가?	15점
2-2	\(f(x)=\frac{\ln x}{x}\)의 도함수 및 증가·감소 구간을 엄밀하게 분석하였는가?	15점
2-2	\(e\)의 성질과 정수 조건을 활용하여 순서쌍 \((2, 4), (4, 2)\)를 완벽히 도출했는가?	25점
2-3	정 \(n\)각형의 넓이 함수를 유도하고 \(f(12) = \frac{2+\sqrt{3}}{48}\)을 정확히 계산하였는가?	20점
2-3	삼각함수의 극한 \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)을 적용하여 극한값 \(\frac{1}{4\pi}\)를 도출했는가?	10점